A Priori, A Posteriori, Extrinsic LLR

Log-likelihood Ratio (LLR) adalah representasi perbandingan antara 2 kemungkinan nilai, dalam bentuk logarithm. Misalkan perbandingan antara suatu sinyal BPSK u_k apakah bernilai +1 atau -1, maka LLR dari u_k adalah

L(u_k) = \ln(\frac{p(u_k = +1)}{p(u_k = -1)}).

Representasi nilai logarithm ini memudahkan kita mengukur seberapa jauh/dekat suatu sinyal terhadap nilai +1 atau -1. Hal ini bisa dilihat dari polaritas nilai LLR. Sedangkan besarnya amplitude dari LLR menunjukkan probabilitas ketepatan nilai tersebut.

Image

Gambar di atas adalah penyederhanaan dari sistem komunikasi untuk mempermudah kita dalam analisis. Pada transmitter, informasi u di-encode oleh C, di-mapping BPSK sehingga menghasilkan sinyal x, kemudian ditransmit. Pada receiver, sinyal yang diterima, y, di-soft decoding oleh D menghasilkan \hat{u}. Hasil akhirnya adalah proses hard decoding dari \hat{u}. Dengan menggunakan Bayes’ Theorem :

p(x = +1 | \bold{y}) \times p(\bold{y}) = p(\bold{y} | x = +1) \times p(x = +1),
p(x = -1 | \bold{y}) \times p(\bold{y}) = p(\bold{y} | x = -1) \times p(x = -1),

maka jika persamaan pertama dibagi dengan persamaan kedua :

\frac{p(x = +1 | \bold{y})}{p(x = -1 | \bold{y})} = \frac{p(\bold{y} | x = +1) \times p(x = +1)}{p(\bold{y} | x = -1) \times p(x = -1)},

logarithm dari persamaan di atas adalah :

\ln \frac{p(x = +1 | \bold{y})}{p(x = -1 | \bold{y})} = \ln \frac{p(\bold{y} | x = +1)}{p(\bold{y} | x = -1)} + \ln \frac{p(x = +1)}{ p(x = -1)}.

Dari persamaan diata, kita bisa definisikan :

A posteriori LLR = L_{ap} = \ln \frac{p(x = +1 | \bold{y})}{p(x = -1 | \bold{y})},

A priori LLR = L_a = \ln \frac{p(x = +1)}{ p(x = -1)},

Extrinsic LLR = L_e = \ln \frac{p(\bold{y} | x = +1)}{p(\bold{y} | x = -1)}.

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s